4 线性规划的What-If分析

线性规划中的What-If分析（也称为敏感性分析）用于探讨在模型的某些参数发生变化时，最优解及其相关指标（如目标函数值、约束条件等）的变化情况。这种分析帮助决策者理解系统的灵活性和稳健性，以及在不确定性下的决策风险。

What-If问题的主要方面

目标函数系数的变化：
如果目标函数的系数（如利润、成本等）发生变化，最优解会如何变化？是否会出现新的最优解？例如，若产品的售价提高，是否会增加生产数量？
约束条件的变化：
如果资源的可用量（如原材料、劳动力等）发生变化，模型的解会如何受到影响？例如，若原材料供应减少，最优生产计划是否仍然可行？
添加或删除约束：
如果添加或删除某个约束条件，最优解将如何变化？例如，若引入环境保护限制，是否会导致生产计划的调整？
非负约束的变化：
在一些情况下，去掉非负约束可能导致最优解的变化。对于某些变量，允许其取负值可能会对结果产生显著影响。

进行What-If分析的方法

灵敏度分析：
通过改变一个或多个参数（如目标函数系数或约束右侧值），观察最优解的变化。可以计算灵敏度范围，确定在什么范围内参数变化不会改变最优解。
边际分析：
研究目标函数系数或约束的边际变化对最优解的影响。通常使用影子价格（Shadow Price）来表示增加一个单位资源所带来的目标函数值的变化。
图形分析：
在二维情况下，可以通过图形展示可行域的变化，以及最优解的移动情况。通过对比不同情况下的可行解集，可以直观理解模型对参数变化的响应。
软件工具：
现代线性规划软件（如 LINDO、Excel Solver、Gurobi等）通常内置敏感性分析工具，可以直接查看各参数变化对最优解的影响。

实例分析

示例：产品生产计划

考虑一个生产计划模型，其中公司生产两种产品（产品A和产品B），目标是最大化利润。

目标函数：

\(\text{Max} \quad Z = 5x_A + 8x_B\)

其中 \(x_A\)和 \(x_B\) 分别是产品A和产品B的生产数量。

约束条件：

\(2x_A + 3x_B \leq 100 \quad \text{（原材料约束）}\)

\(x_A + 2x_B \leq 80 \quad \text{（劳动力约束）}\)

\(x_A, x_B \geq 0\)

What-If分析示例

目标函数系数的变化：
如果产品A的利润增加到6，检查是否最优解会改变。可以通过重新求解线性规划问题来找到新的最优解。
约束条件的变化：
假设原材料供应增加到120，观察最优解是否会发生变化。此时需更新约束并重新求解。
添加新约束：
如果引入一个新的约束，比如市场需求限制为\(x_A + x_B \leq 90\)，则需要检查新约束对现有解的影响。
敏感性报告：
使用软件工具生成敏感性分析报告，查看目标函数系数和约束的影子价格，了解在不同情况下的影响程度。

结论

What-If分析是线性规划中一个重要的工具，能够帮助决策者理解模型在面对不确定性时的行为和性能。通过敏感性分析和边际分析，决策者能够更好地制定策略，以应对潜在的变化和风险。